《剑指offer》刷题笔记(时间空间效率的平衡):数组中的逆序对



题目描述

在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

输入描述

题目保证输入的数组中没有的相同的数字
数据范围:
对于%50的数据,size<=10^4
对于%75的数据,size<=10^5
对于%100的数据,size<=2*10^5

示例

输入

1
1,2,3,4,5,6,7,0

输出

1
7

解题思路

看到这个题目,首先想到的可能是顺序遍历整个数组。每扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿它和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

  • 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
  • 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
  • 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
  • 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;



在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。



我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保 辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。

过程:先把数组分割成子数组,先统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中,还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉,我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。

C++版代码实现

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class Solution {
public:
int InversePairs(vector<int> data) {
if(data.size() == 0)
return 0;
vector<int> copy;
for(int i=0; i < data.size(); ++i)
copy.push_back(data[i]);
return InversePairsCore(copy, data, 0, data.size() - 1)%1000000007;
}
long InversePairsCore(vector<int> &data, vector<int> &copy, int begin, int end){
if(begin == end){
copy[begin] = data[end];
return 0;
}

int length = (end-begin)/2;
long left = InversePairsCore(copy, data, begin, begin + length);
long right = InversePairsCore(copy, data, begin + length + 1, end);

int i = begin + length;
int j = end;
int indexcopy = end;
long count = 0;

while(i >= begin && j >= begin+length+1){
if(data[i] > data[j]){
copy[indexcopy--] = data[i--];
count = count + j - begin - length;
}
else
copy[indexcopy--] = data[j--];
}
for(;i>= begin; --i)
copy[indexcopy--] = data[i];
for(;j>=begin+length+1; --j)
copy[indexcopy--] = data[j];
return left + right + count;
}
};

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完的汪(∪。∪)。。。zzz

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